Момент импульса двумерного осциллятора

Рассмотрите двумерный гармонический осциллятор с потенциалом $V(x,y)=m\omega^2(x^2+y^2)/2$. С помощью двух наборов операторов рождения и уничтожения $a,a^\dagger,b,b^\dagger$ можно записать
$$x=\frac{a+a^\dagger}{\sqrt{2}\alpha},\quad p_x=\frac{\alpha\hbar}{\sqrt{2}i}(a-a^\dagger),\quad y=\frac{b+b^\dagger}{\sqrt{2}\alpha},\quad p_y=\frac{\alpha\hbar}{\sqrt{2}i}(b-b^\dagger).$$
(a) Вычислите коммутаторы $[a,a^\dagger]$, $[a,b]$, $[a,b^\dagger]$, $[a^\dagger,b]$, $[a^\dagger,b^\dagger]$, $[b,b^\dagger]$.
(b) Выразите гамильтониан и оператор момента импульса $L_z=xp_y-yp_x$ через операторы рождения и уничтожения.
(c) Используя эти выражения, вычислите $[H,L_z]$.