Нормировка и момент импульса сферических гармоник

Рассмотрите операторы момента импульса в сферических координатах
$$L^2=-\hbar^2\left[\frac1{\sin\theta}\frac\partial{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac\partial{\partial\theta}\right)+\frac1{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right],\qquad L_z=-i\hbar\frac\partial{\partial\phi},$$
а также сферические гармоники $Y_{l,m}(\theta,\phi)$ для следующих значений $l,m$: $Y_{0,0}=1/\sqrt{4\pi}$, $Y_{1,0}=\sqrt{3/(4\pi)}\cos\theta$, $Y_{1,\pm1}=\mp\sqrt{3/(8\pi)}\sin\theta\,e^{\pm i\phi}$.
(a) Покажите, что функции правильно нормированы и ортогональны.
(b) Покажите, что эти функции $Y_{l,m}(\theta,\phi)$ — собственные функции одновременно для $L^2$ и $L_z$, и вычислите соответствующие собственные значения.