Верность одного кубита при амплитудном затухании

Амплитудное затухание описывает спонтанное излучение, неупругое рассеяние, установление теплового равновесия спинов с решёткой и другие микроскопические процессы обмена энергией между системой и окружением. Исследуем квантовый код, приспособленный к таким ошибкам.

Однокубитный канал амплитудного затухания имеет вид $\mathcal E(\rho)=\sum_kE_k\rho E_k^\dagger$, где

$$E_0=\begin{pmatrix}1&0\\0&\sqrt{1-\gamma}\end{pmatrix},\qquad E_1=\begin{pmatrix}0&\sqrt\gamma\\0&0\end{pmatrix}.$$

Пусть $\gamma=1-e^{-t/T_1}$; здесь $t$ — время, $T_1$ — характерное время амплитудного затухания.

(a) Возьмём $|\psi_1\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$. После затухания матрица плотности равна

$$\rho_1=\sum_kE_k|\psi_1\rangle\langle\psi_1|E_k^\dagger.$$

Вычислите верность состояния — величину

$$F_1(t)=F(|\psi_1\rangle,\rho_1)=\sqrt{\langle\psi_1|\rho_1|\psi_1\rangle}$$

— и постройте её график в зависимости от $t$.

(b) Найдите состояние $|\phi(t)\rangle$, для которого верность после затухания минимальна в каждый момент времени. Постройте зависимость этого минимального значения от времени.