Два кубита с одним возбуждением при затухании

Амплитудное затухание описывает спонтанное излучение, неупругое рассеяние, установление теплового равновесия спинов с решёткой и другие микроскопические процессы обмена энергией между системой и окружением. Исследуем квантовый код, приспособленный к таким ошибкам.

Однокубитный канал амплитудного затухания имеет вид $\mathcal E(\rho)=\sum_kE_k\rho E_k^\dagger$, где

$$E_0=\begin{pmatrix}1&0\\0&\sqrt{1-\gamma}\end{pmatrix},\qquad E_1=\begin{pmatrix}0&\sqrt\gamma\\0&0\end{pmatrix}.$$

Пусть $\gamma=1-e^{-t/T_1}$; здесь $t$ — время, $T_1$ — характерное время амплитудного затухания.

(c) Двухкубитный код $|0_L\rangle=|01\rangle$, $|1_L\rangle=|10\rangle$ кодирует один логический кубит двумя физическими. Пусть $|\psi\rangle=a|0_L\rangle+b|1_L\rangle$. Найдите состояние после независимого амплитудного затухания обоих физических кубитов:

$$\begin{aligned} \rho'={}&\sum_{j,k\in\{0,1\}}(E_j\otimes E_k)\\ &\quad\cdot|\psi\rangle\langle\psi|(E_j\otimes E_k)^\dagger. \end{aligned}$$

(d) Вычислите верность $F(|\psi\rangle,\rho')=\sqrt{\langle\psi|\rho'|\psi\rangle}$ относительно исходного состояния и постройте её график по времени для наихудшего состояния.

(e) Спроецируйте выходное состояние на подпространство, ортогональное $|00\rangle$, например измерением $Z\otimes Z$ для определения числа возбуждений в данном выходном состоянии. Оставьте только случаи, когда $|00\rangle$ не получено. Какое состояние останется? Как зависит от $t$ его верность относительно $|\psi\rangle$?