Два двоичных кода для квантового кодирования

Некоторые классические линейные коды непосредственно дают квантовые коды. Разберите пример такой конструкции и основные понятия классических линейных кодов.

(a) Линейный код $C$, кодирующий $k$ бит в $n$ бит, задаётся двоичной порождающей матрицей $G$ размера $n\times k$. Его $2^k$ кодовых слов имеют вид $Gx$, где столбец $x$ содержит $k$ бит; все операции выполняются по модулю 2. Для матрицы

$$G=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\end{pmatrix}$$

выпишите шестнадцать семибитных кодовых слов.

(b) Ошибки обнаруживаются проверками чётности. Для всех кодовых слов $x$ проверочная матрица $H$ размера $(n-k)\times n$ удовлетворяет $Hx=0$. Для данного кода возьмём

$$H=\begin{pmatrix}0&0&0&1&1&1&1\\0&1&1&0&0&1&1\\1&0&1&0&1&0&1\end{pmatrix}.$$

Проверьте $Hx=0$ для всех найденных слов и докажите $HG=0$.