Активное и пассивное исправление ошибок в коде повторения

При активном исправлении квантовых ошибок сначала обнаруживают ошибку, затем применяют исправляющую операцию. Здесь исследуется пассивное исправление с помощью подпространств, свободных от декогеренции, в формализме стабилизаторных кодов.

Напомним: если $S$ — стабилизатор кода $C$, то $V|\psi\rangle=|\psi\rangle$ для любых $V\in S$, $|\psi\rangle\in C$. Нормализатор $N(G)$ группы $G$ состоит из операторов $U$, для которых $UVU^\dagger\in G$ при любом $V\in G$.

Возьмём трёхкубитный код против инверсии битов $C_{\mathrm{bf}}$: $|0_L\rangle=|000\rangle$, $|1_L\rangle=|111\rangle$, $S=\langle ZZI,IZZ\rangle$.

(a) С помощью стабилизаторов покажите, что код исправляет ошибки $E_1=XII$, $E_2=IXI$, $E_3=IIX$.

(b) Теперь пусть $E_1=ZIZ$. Покажите, что она не меняет кодовое состояние: обнаружение и исправление не нужны. Подпространство свободно от декогеренции для ошибок $\{E_j\}$, если $E_j|\psi\rangle=c_j|\psi\rangle$, причём $c_j$ не зависит от $|\psi\rangle$.

(c) Докажите, что код $C$ обладает этим свойством, если все $E_i$ принадлежат его стабилизатору.

(d) Докажите, что не существует кода, в стабилизатор которого входят все однокубитные ошибки.