Преобразование поляризации одиночного фотона пластинками

Поляризация фотона частоты $\omega$, распространяющегося вдоль $+z$, при $z=0$ задаётся единичным комплексным вектором $\mathbf i=(\alpha_x,\alpha_y)^T$, а изменение во времени — $\operatorname{Re}(\mathbf i e^{-j\omega t})$. (a) В изотропном веществе длины $L$ со скоростью света $c/n$ вектор на выходе $\mathbf i^\prime=\mathbf i e^{j\phi}$, $\phi=\omega nL/c$. Покажите, что $\operatorname{Re}(\mathbf i^\prime e^{-j\omega t})$ описывает ту же кривую в плоскости $xy$. (b) У двулучепреломляющей пластинки с главными осями $x,y$ на выходе компоненты $\alpha_xe^{j\phi_x},\alpha_ye^{j\phi_y}$, где $\phi_{x,y}=\omega n_{x,y}L/c$. Для четвертьволновой пластинки $\phi_x-\phi_y=\pi/2$. Покажите, что при входной линейной поляризации $+45^\circ$, $\mathbf i=(1,1)^T/\sqrt2$, на выходе получается круговая поляризация. Что получится после второй такой пластинки с теми же осями? (c) У полуволновой пластинки разность фаз $\pi$. Найдите выходную поляризацию для входа $(1,0)^T$, если быстрая ось имеет направление $(\cos\theta,\sin\theta)$, а медленная $(-\sin\theta,\cos\theta)$. (d) Покажите, что из $x$-поляризации можно получить любую $(\alpha_x,\alpha_y)^T$, сначала полуволновой пластинкой преобразовав её в $(|\alpha_x|,|\alpha_y|)^T$, а затем подобрав разность фаз другой пластинки с осями $x,y$. (e) Для получения горизонтальной поляризации из произвольной нелинейной выберите оси $(x^\prime,y^\prime)$ эллипса, в которых $\alpha_{y^\prime}=jk\alpha_{x^\prime}$ с $k>0$. Объясните, почему четвертьволновая пластинка с быстрой осью $y^\prime$ даст линейную поляризацию, а полуволновая повернёт её вдоль $x$. Как с помощью полуволновой и четвертьволновой пластинок преобразовать начальную $x$-поляризацию в любую заданную?