Сфера Пуанкаре для одного фотона

Для поляризации фотона частоты $\omega$, распространяющегося вдоль $+z$, положим $\mathbf i=(\alpha_x,\alpha_y)^T$ и $\mathbf r=(2\operatorname{Re}[\alpha_x^*\alpha_y],2\operatorname{Im}[\alpha_x^*\alpha_y],|\alpha_x|^2-|\alpha_y|^2)^T$. (a) Покажите, что $\mathbf r$ полностью описывает поляризацию. (b) Докажите, что $\mathbf i^\dagger\mathbf i=1$ влечёт $\mathbf r^T\mathbf r=1$: поляризация лежит на единичной сфере Пуанкаре. (c) Где на сфере находятся $x$- и $y$-поляризации? Где находятся левая и правая круговые поляризации? (d) Пусть $\mathbf i,\mathbf r$ описывают одну поляризацию, а $\mathbf i^\prime,\mathbf r^\prime$ — другую по тем же формулам. Покажите, что $|\mathbf i^{\prime\dagger}\mathbf i|^2=(1+\mathbf r^{\prime T}\mathbf r)/2$.