Матричные элементы квантового оператора

Пусть линейный оператор $A$ переводит кеты гильбертова пространства $\mathcal H$ в кеты этого пространства. Пусть $|\phi_n\rangle$, $n=1,2,\ldots$, — полный ортонормированный набор: $\langle\phi_n|\phi_m\rangle=\delta_{nm}$ и $I=\sum_n|\phi_n\rangle\langle\phi_n|$. (a) Покажите, что матричные элементы полностью задают оператор: $A=\sum_{m,n}\langle\phi_m|A|\phi_n\rangle|\phi_m\rangle\langle\phi_n|$. (b) Для $|x\rangle=\sum_n x_n|\phi_n\rangle$ и $|y\rangle=A|x\rangle$ покажите, что $|y\rangle=\sum_m y_m|\phi_m\rangle$, где $y_m=\sum_n\langle\phi_m|A|\phi_n\rangle x_n$. (c) Конкретизируйте оба результата для наблюдаемой $A$, когда взят полный ортонормированный набор её собственных кетов.