Преобразование бета-функции и размерная трансмутация

(a) Пусть вместо константы связи $\lambda$ вводится $\bar\lambda(\lambda)$. Найдите общий закон преобразования бета-функции. Какой это тип тензора, если считать $\lambda$ координатой? (b) Пусть $\beta(\lambda)=b_2\lambda^2+b_3\lambda^3+b_4\lambda^4+\cdots$ и $\bar\lambda=\lambda+a_2\lambda^2+a_3\lambda^3+\cdots$ — обратимое переопределение. Вычислите $\bar\beta(\bar\lambda)=\bar b_2\bar\lambda^2+\bar b_3\bar\lambda^3+\bar b_4\bar\lambda^4+\cdots$. Проверьте, что первые два коэффициента не меняются, а $\bar b_4$ можно менять переопределением связи. Покажите, что неподвижная точка переходит в неподвижную точку. Как связаны производные бета-функций в ней? (c) Для безмассовой связи $g$ рассмотрите $\mu\,dg/d\mu=-bg^2-cg^3-dg^4-\cdots$. Покажите, что $\ln(\mu/\Lambda)=1/[bg(\mu)]+(c/b^2)\ln[bg(\mu)]+O(g(\mu))$, где $\Lambda$ — постоянная интегрирования, которую можно считать динамически возникшим масштабом. Обоснуйте её инвариантность при ренормгрупповом течении. (d) Покажите в общем случае, что в перенормируемой теории с безразмерной связью $g(\mu)$ без иных размерных параметров происходит размерная трансмутация: $g(\mu)=f(\ln(\mu/\Lambda))$ с единым масштабом $\Lambda$ и функцией $f$, зависящей от теории.