Спектр спинового кольца в магнитном поле

Гильбертово пространство $N$ частиц со спином $1/2$ имеет вид $\mathcal H=\mathcal H_2^{(1)}\otimes\mathcal H_2^{(2)}\otimes\cdots\otimes\mathcal H_2^{(N)}$, где $\mathcal H_2^{(i)}$ — двумерное гильбертово пространство $i$-й частицы. (a) Какова размерность $\mathcal H$? (b) Определим $S_z=S_z^{(1)}+S_z^{(2)}+\cdots+S_z^{(N)}$. Найдите спектр $S_z$ и вырождение его значений. (c) Определим оператор взаимодействия ближайших соседей в кольце из $N$ спинов: $I=\mathbf S^{(1)}\cdot\mathbf S^{(2)}+\mathbf S^{(2)}\cdot\mathbf S^{(3)}+\cdots+\mathbf S^{(N-1)}\cdot\mathbf S^{(N)}+\mathbf S^{(N)}\cdot\mathbf S^{(1)}$. Совместимы ли наблюдаемые $S_z$ и $I$? Докажите ответ для любого $N$. (d) Найдите спектр $I$ и кратности вырождения при $N=2,3,4$. (e) Найдите наибольшее положительное собственное значение $\lambda_{\max}^{(N)}$ оператора $I$ для произвольного $N$ и укажите соответствующий собственный вектор. (f) Найдите наименьшее (самое отрицательное) собственное значение $\lambda_{\min}^{(N)}$ при малых $N$. Каково наибольшее $N$, для которого вы можете вычислить эту величину? Что можно сказать о $\lambda_{\min}^{(N)}$ и соответствующих собственных векторах для общего $N$? (g) Рассмотрите $N$ частиц со спином $1/2$ во внешнем магнитном поле, взаимодействующих с полем и друг с другом по гамильтониану $H=bxS_z-a(1-x)I$, где $a,b$ — числовые константы, $b=a\hbar$, а $x\in[0,1]$ — вещественное число. Постройте спектр $H$ для $N=2,3,4$ при $0\le x\le1$. Проверьте согласованность с ответами в предыдущих пунктах.