Правило сумм и теорема вириала

Пусть $H=p^2/(2m)+V(x)$ — гамильтониан одномерной квантовой системы с дискретными собственными состояниями $H|a\rangle=E_a|a\rangle$. Докажите следующие результаты. (a) $\sum_{a^\prime}|\langle a|x|a^\prime\rangle|^2(E_{a^\prime}-E_a)=\hbar^2/(2m)$. (b) $\langle a|p|a^\prime\rangle=(im/\hbar)(E_a-E_{a^\prime})\langle a|x|a^\prime\rangle$, и, следовательно, $\sum_{a^\prime}|\langle a|x|a^\prime\rangle|^2(E_{a^\prime}-E_a)^2=(\hbar^2/m^2)\langle a|p^2|a\rangle$. (c) Обобщите на три измерения и докажите квантовую теорему вириала $\langle a|p^2/(2m)|a\rangle=\tfrac12\langle a|\mathbf x\cdot\nabla V(\mathbf x)|a\rangle$.