Свойства ненормированных когерентных состояний

Определим когерентное состояние $|\phi\rangle=e^{\phi a^\dagger}|0\rangle$, где $\phi$ — комплексное число, $a^\dagger$ — оператор рождения гармонического осциллятора и $|0\rangle$ — его основное состояние. Докажите следующие свойства. (a) $|\phi\rangle=\sum_n\phi^n|n\rangle/\sqrt{n!}$. (b) $a|\phi\rangle=\phi|\phi\rangle$. (c) $\langle\phi|\phi^\prime\rangle=e^{\phi^*\phi^\prime}$. (d) $\langle\phi|:A(a^\dagger,a):|\phi^\prime\rangle=e^{\phi^*\phi^\prime}A(\phi^*,\phi^\prime)$, где в нормально упорядоченном операторе $:A(a^\dagger,a):$ все операторы рождения $a^\dagger$ стоят левее всех операторов уничтожения $a$. (e) $\int\frac{d\phi^*d\phi}{2\pi i}e^{-\phi^*\phi}|\phi\rangle\langle\phi|=\mathbf1$ (полнота когерентных состояний).