Вариационные энергии для четырёх потенциалов

В каждом пункте требуется приближённо найти энергии одного или нескольких нижних квантовых состояний для заданного потенциала. Для нахождения собственных значений энергии можно выбрать любой приближённый метод. По желанию можно использовать компьютер или провести расчёт вручную. В каждом случае приведите эскиз или график собственных функций. Во всех пунктах можно выбрать единицы $\hbar=m=1$. (a) Найдите энергии основного и первого возбуждённого состояний частицы в одномерном потенциале $V(x)=\tfrac14x^4$. (b) Найдите энергии основного и первого возбуждённого состояний частицы в одномерном потенциале $V(x)=-\tfrac12x^2+\tfrac1{24}x^4$. (c) Найдите энергию основного состояния двух частиц в потенциале гармонического осциллятора $V(x)=x^2/2$. Энергия взаимодействия частиц равна $-\sqrt2|x-y|$, где $x,y$ — их координаты. Можно считать частицы фермионами, так что $\psi(x,y)=-\psi(y,x)$. Заметьте, что гамильтониан этой системы эквивалентен гамильтониану одной частицы в двух измерениях $x,y$ с потенциалом $W(x,y)=\tfrac12x^2+\tfrac12y^2-\sqrt2|x-y|$. (d) Найдите энергию основного состояния частицы в двумерном потенциале $V(x,y)=\tfrac14x^4+\tfrac16y^6+2xy$.