Поправки второго порядка для квартичного потенциала

Кривые потенциальной энергии большинства валентных колебаний похожи на потенциал Морзе $V_M(x)=D[1-e^{-\beta x}]^2=D[1-2e^{-\beta x}+e^{-2\beta x}]$. Разложите в степенной ряд: $V_M(x)=D[\beta^2x^2-\beta^3x^3+(7/12)\beta^4x^4+\cdots]$. В отличие от них потенциал большинства деформационных колебаний имеет приближённый вид $V_Q(x)=kx^2/2+bx^4$.
Полезные сведения: $\hat x^3=(\hbar/(2\mu\omega))^{3/2}(a+a^\dagger)^3$, $\hat x^4=(\hbar/(2\mu\omega))^2(a+a^\dagger)^4$, $\omega=\sqrt{k/\mu}$ рад/с, $\tilde\omega=\sqrt{k/\mu}/(2\pi c)$ в см$^{-1}$ при $c=3{,}0\cdot10^{10}$ см/с,
$$(a+a^\dagger)^3=a^3+3(N+1)a+3Na^\dagger+(a^\dagger)^3,$$
$$(a+a^\dagger)^4=a^4+a^2(4N-2)+(6N^2+6N+3)+(a^\dagger)^2(4N+6)+(a^\dagger)^4,\quad N=a^\dagger a.$$
Разложение колебательных энергий имеет вид $E_v=hc[\tilde\omega(v+1/2)-\tilde\omega\tilde x(v+1/2)^2+\tilde\omega\tilde y(v+1/2)^3]$. Подсказка: цель — связать сведения о потенциальной поверхности ($D,\beta$) с экспериментально доступными параметрами спектра ($\tilde\omega,\tilde\omega\tilde x,\ldots$). Эту связь устанавливает теория возмущений.

Дополнительный вопрос. Для квартичного потенциала найдите связь между $(\tilde\omega,\tilde\omega\tilde x,\tilde\omega\tilde y)$ и $(k,b)$, учитывая $(a+a^\dagger)^4$ вплоть до второго порядка теории возмущений.