Размерности дельта-барьера и поправки к уровням осциллятора

Пусть $V(x)=kx^2/2+C\delta(x)$, где $C>0$ для барьера. $\delta(x)$ — особая бесконечно узкая и бесконечно высокая функция с центром в $x=0$. Её удобное свойство $\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\psi_v(x)dx=\psi_v(0)$, где $\psi_v(0)$ — значение $v$-й собственной функции гармонического осциллятора при $x=0$. Для всех нечётных $v$ имеем $\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\psi_{\rm odd}(x)dx=0$.

A. (i) Функции $\psi_v$ нормированы: $\int_{-\infty}^\infty|\psi_v|^2dx=1$. Какова размерность $\psi(x)$? (ii) Какова размерность $\delta(x)$ согласно приведённому интегральному свойству? (iii) Какова размерность константы $C$, если $V(x)$ имеет размерность энергии?
B. Для применения теории возмущений нужны все интегралы для $\hat H^{(1)}=C\delta(x)$: $\int_{-\infty}^\infty\psi_{v'}(x)\hat H^{(1)}\psi_v(x)dx=C\psi_{v'}(0)\psi_v(0)$, $\hat H^{(0)}\psi_v=\hbar\omega(v+1/2)\psi_v$. Запишите общие формулы для $E_v^{(1)}$ и $E_v^{(2)}$. Пока не вычисляйте $\psi_v(0)$ для всех чётных $v$. Используйте определения $E_v^{(1)}=H_{vv}^{(1)}$ и $E_v^{(2)}=\sum_{v'\ne v}(H_{vv'}^{(1)})^2/(E_v^{(0)}-E_{v'}^{(0)})$.