Квазиклассическая оценка сдвига уровней дельта-барьером

Пусть $V(x)=kx^2/2+C\delta(x)$, где $C>0$ для барьера. $\delta(x)$ — особая бесконечно узкая и бесконечно высокая функция с центром в $x=0$. Её удобное свойство $\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\psi_v(x)dx=\psi_v(0)$, где $\psi_v(0)$ — значение $v$-й собственной функции гармонического осциллятора при $x=0$. Для всех нечётных $v$ имеем $\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\psi_{\rm odd}(x)dx=0$.

C. Квазиклассическая амплитуда $\psi(x)$ пропорциональна $[v_{\rm cl}(x)]^{-1/2}$, где классическая скорость $v_{\rm cl}(x)=p_{\rm cl}(x)/\mu=[2\mu(E_v-V(x))]^{1/2}/\mu$. В точке $x=0$ имеем $v_{\rm cl}(0)=[2\hbar\omega(v+1/2)/\mu]^{1/2}$. Множитель пропорциональности определяется отношением времени движения от $x$ до $x+dx$ ко времени движения от $x_-(E_v)$ до $x_+(E_v)$, то есть половине периода. Поэтому $\psi(0)^2dx=[dx/v_{\rm cl}(0)]/(\tau_v/2)=2dx/[v_{\rm cl}(0)(h/(\hbar\omega))]=2\omega dx/[2\pi v_{\rm cl}(0)]$; $\psi_v(0)\approx[(\omega/\pi)/v_{\rm cl}(0)]^{1/2}$ для чётного $v$. Используя эту оценку, определите зависимость $H_{vv}^{(1)}$ и $H_{vv'}^{(2)}$ от колебательных квантовых чисел $v,v'$.
D. Допустим, что в сумме $E_v^{(2)}=\sum_{v'\ne v}(H_{vv'}^{(1)})^2/(E_v^{(0)}-E_{v'}^{(0)})$ существенны только пары $v,v+2$ и $v,v-2$. Найдите $E_v=E_v^{(0)}+E_v^{(1)}+E_v^{(2)}$ и опишите качественный вид диаграммы колебательных уровней. Сдвигаются ли нечётные уровни относительно $E_v^{(0)}$? Сдвигаются ли чётные уровни вверх или вниз? Как величина сдвига зависит от квантового числа?
E. Оцените $E_1-E_0$ и $E_3-E_2$. Возрастает или уменьшается влияние дельта-барьера на расположение уровней с ростом $v$?