Поляризуемость осциллятора в постоянном электрическом поле

Электрон прикреплён гармонической пружиной к неподвижной точке $x=0$. Без поля его потенциальная энергия $V(x)=kx^2/2$. Уровни и собственные состояния соответствуют гармоническому осциллятору: $\omega=\sqrt{k/m_e}$, $E_v=\hbar\omega(v+1/2)$, $\psi_v=(v!)^{-1/2}(a^\dagger)^v\psi_0$. При включении постоянного электрического поля $\mathcal E_0$ потенциал принимает вид $V(x)=kx^2/2+\mathcal E_0 e x$ ($e>0$ по определению).

О знаках дипольного взаимодействия. Для заряда $q$ в точке $x$ в однородном постоянном поле энергия взаимодействия $H=-\mu\mathcal E_0=-\mathcal E_0qx$. Обратите внимание на минус: для диполя $\boldsymbol\mu=q\mathbf x$, направленного по электрическому полю, энергия взаимодействия отрицательна. Заряд электрона $q_e=-e$, где элементарный заряд $e$ строго положителен. Поэтому для электрона в поле вдоль $+x$ имеем $H=-\boldsymbol\mu\cdot\boldsymbol{\mathcal E}_0=-\mathcal E_0q_ex=+\mathcal E_0 e x$. При увеличении координаты электрона энергия взаимодействия растёт (при $\mathcal E_0>0$). Электрон стремится двигаться против поля, положительные заряды — по полю.

Решите задачу сначала простым точным способом, затем по теории возмущений.
A. Найдите $x_{\min}$, $V(x_{\min})$, $V(x')$, где $x'=x-x_{\min}$. Остаётся ли система гармоническим осциллятором? Какова её частота $\omega$?
B. Запишите энергии уровней как функции напряжённости поля.
C. Одно из определений поляризуемости — $\alpha_v=-d^2E_v/d\mathcal E_0^2$. Чему равна $\alpha_v$? Зависит ли она от $v$?
D. Другое определение: $\mu(\mathcal E_0)-\mu(0)=\alpha\mathcal E_0$, где $\mu$ — электрический дипольный момент. Чему по этому определению равен $\mu(\mathcal E_0)$?
E. Перейдите к теории возмущений. Нулевые энергии и функции — осцилляторные при $\mathcal E_0=0$. Возмущение $\hat H^{(1)}=\mathcal E_0e\hat x$, где $\hat x$ — обычная координата смещения. Если $\hat x=\sqrt{\hbar/(2\mu\omega)}(a+a^\dagger)$, запишите общую формулу для ненулевых интегралов $x_{v'v}=\int dx\,\psi_{v'}^*\hat x\psi_v$.
F. По полученным $x_{v'v}$ запишите все зависящие от поля элементы $H^{(1)}_{v'v}$ и вычислите уровни осциллятора в поле: $E_v=E_v^{(0)}+E_v^{(1)}+E_v^{(2)}$, $\psi_v=\psi_v^{(0)}+\psi_v^{(1)}$.
G. С помощью $d^2E_v/d\mathcal E_0^2$ вычислите поляризуемость $\alpha_v$. Зависит ли она от $v$? Согласуется ли результат с C?
H. С помощью $\psi_v^{(1)}$ вычислите $\mu_v=e\int dx\,\psi_v^*\hat x\psi_v$, где $\psi_v$ — возмущённые функции. Зависит ли $\mu$ от $v$? Должен ли зависеть? Согласуется ли результат с D?