Радиационный распад возбуждённого трёхмерного осциллятора

Найдите время жизни заряженной частицы с зарядом $q$ и массой $m$ в первых возбуждённых состояниях трёхмерного гармонического осциллятора частоты $\omega$. По аналогии с водородом назовём $|1,0,0\rangle,|0,1,0\rangle,|0,0,1\rangle$ состояниями $2p$, а основное $|0,0,0\rangle$ — состоянием $1s$. Другой базис $2p$ состоит из собственных состояний $L_z$:

$$|m_\ell=-1\rangle=\frac{|1,0,0\rangle+i|0,1,0\rangle}{\sqrt2},\quad |m_\ell=0\rangle=|0,0,1\rangle,\quad |m_\ell=1\rangle=\frac{|1,0,0\rangle-i|0,1,0\rangle}{\sqrt2}.$$

(a) Запишите скорость перехода $\Gamma(2p\to1s)$ со спонтанным испусканием электромагнитного излучения в основное состояние. Она должна зависеть от частоты испущенного света и матричного элемента $q\vec r$. [Указание: используйте связь скоростей спонтанного испускания и поглощения на соответствующей частоте.]

(b) Покажите, что скорость не зависит от $m_\ell$.

(c) Выразите $\Gamma(2p\to1s)$ через $m,\omega,q$ и фундаментальные постоянные.

(d) Как связаны скорость перехода и время жизни состояния $2p$?