Спонтанное испускание при повторном контакте с фотонной модой

Смоделируем атом двухуровневой системой с основным состоянием $|g\rangle$ и возбуждённым состоянием $|e\rangle$. Атом взаимодействует с фотонным полем — гармоническим осциллятором — через гамильтониан

$$H=\hbar\Omega(|g\rangle\langle e|\otimes\hat a^\dagger+|e\rangle\langle g|\otimes\hat a).\tag{3}$$

В исходнике для обоснования дана ссылка на задачу 3 листка 5; в этом выпуске взаимодействие атома и фотона выводится в задаче 5 листка 3. Для настоящей задачи формула (3) принимается как предположение. Рассмотрим следующий процесс декогеренции:

(i) Добавить фотонное поле в состоянии $|0\rangle\langle0|$, то есть заменить $\rho$ на $\rho\otimes|0\rangle\langle0|$.

(ii) Дать гамильтониану (3) действовать в течение времени $\tau$.

(iii) Отбросить состояние фотонного поля.

(a) Пусть процесс применён один раз. Объясните, почему из начальной матрицы плотности атома $\rho$ получается

$$\rho'=\operatorname{tr}_{\mathrm{photon}}\left[e^{-iH\tau/\hbar}(\rho\otimes|0\rangle\langle0|)e^{iH\tau/\hbar}\right].$$

Вычислите $\rho'$ до порядка $O(\tau^2)$, пренебрегая $\tau^3$ и более высокими степенями.

(b) Теперь три шага повторяются каждые $\tau$ секунд. Чтобы приблизить процесс непрерывной эволюцией, устремим $\tau\to0$. Для нетривиального результата будем менять $\Omega$ вместе с $\tau$, сохраняя $\delta=\Omega^2\tau$ постоянным. Выведите уравнение

$$\dot\rho=\mathcal L[\rho],$$

где $\mathcal L[\rho]$ — не тождественно нулевая матричная функция $\rho$. Равносильная запись:

$$\rho(t+\tau)=\rho(t)+\mathcal L[\rho(t)]\tau+O(\tau^2).$$

Функция $\mathcal L$ может зависеть от $\delta$, но не должна непосредственно зависеть от $\tau$. Каково стационарное решение? Единственно ли оно?

[Замечание: предположение $\Omega^2\sim1/\tau$ — грубое приближение реального процесса. В (a) декогеренция от связи с одной фотонной модой пропорциональна $\tau^2$, но число мод, связанных с атомом за время $\tau$, растёт как $1/\tau$. Суммирование по ним даёт изменение состояния, пропорциональное $\tau$. Предположение $\Omega^2\sim1/\tau$ — более простой, но менее обоснованный способ получить тот же вывод.]

(c) Измените исходный процесс: вместо вакуумного состояния $|0\rangle\langle0|$ в шаге (i) добавляется тепловое состояние с обратной температурой $\beta$. Пусть угловая частота фотонов равна $\omega$. Повторите анализ (a), (b), найдите дифференциальное уравнение для $\rho$ и равновесное состояние атома.