Общие свойства квантового движения в магнитном поле

Масса частицы $m$, заряд $q$; используется гауссовская система электромагнитных единиц,

$$\omega_L=\frac{qB}{mc},\tag{1}$$

$$\begin{gathered}v_x=\frac1m(p_x-qA_x/c),\\v_y=\frac1m(p_y-qA_y/c).\end{gathered}\tag{2}$$

Используйте калибровочное преобразование:

$$\psi'=e^{-iqf/(\hbar c)}\psi,\tag{3}$$

$$\begin{gathered}\vec A'=\vec A-\vec\nabla f,\\\phi'=\phi+\frac1c\partial_t f.\end{gathered}\tag{4}$$

Квантовое движение в магнитном поле отчасти похоже на классическое, но существенно отличается от него. Различия видны в коммутаторах (7),(9). Выведите результаты без явного выбора калибровки.

(a) Для произвольного, не обязательно постоянного магнитного поля найдите

$$[\hat v_x,\hat v_y]=?\tag{7}$$

с операторами (2). Что это говорит о движении?

(b) В этом и следующих пунктах $\vec E=0$, $B_x=B_y=0$, $B_z=B=\mathrm{const}$; рассматривается только плоскость $xy$. Классически частица движется по окружности вокруг центра $(X,Y)$, выражаемого через координаты и скорости, как в задаче 1 этого листка. Введём соответствующие квантовые операторы

$$\begin{gathered}\hat X=\hat x+\frac{\hat v_y}{\omega_L},\\\hat Y=\hat y-\frac{\hat v_x}{\omega_L}.\end{gathered}\tag{8}$$

Найдите

$$[\hat X,\hat Y]=?\tag{9}$$

и объясните следствие для движения в плоскости.

(c) Покажите калибровочную инвариантность $\hat X,\hat Y$; используйте преобразования (3),(4).

(d) Покажите

$$[\hat X,H]=[\hat Y,H]=0.\tag{10}$$

Из (9),(10) следует: вместе с $H$ можно диагонализовать один из $\hat X,\hat Y$ либо одну их линейную комбинацию, но не оба. [Указание: запишите $H=m(\hat v_x^2+\hat v_y^2)/2$ и сначала найдите коммутаторы центров со скоростями.]