Базисы нижнего уровня Ландау в разных калибровках

Используйте $l_0=\sqrt{\hbar/(m\omega_L)}=\sqrt{\hbar c/(qB)}$ из (1); эта конвенция вещественной длины предполагает $qB>0$. Центры из (8): $X=x+v_y/\omega_L$, $Y=y-v_x/\omega_L$; $H=m(v_x^2+v_y^2)/2$.

Масса частицы $m$, заряд $q$; используется гауссовская система электромагнитных единиц,

$$\omega_L=\frac{qB}{mc},\tag{1}$$

$$\begin{gathered}v_x=\frac1m(p_x-qA_x/c),\\v_y=\frac1m(p_y-qA_y/c).\end{gathered}\tag{2}$$

Используйте калибровочное преобразование:

$$\psi'=e^{-iqf/(\hbar c)}\psi,\tag{3}$$

$$\begin{gathered}\vec A'=\vec A-\vec\nabla f,\\\phi'=\phi+\frac1c\partial_t f.\end{gathered}\tag{4}$$

Частица с зарядом $q$ и массой $m$ движется в постоянном поле $\vec B=(0,0,B)$. При калибровке

$$A_x=-By,\qquad A_y=A_z=0\tag{11}$$

базис нижнего уровня Ландау имеет вид

$$\psi_0(x,y;k_x)=e^{ik_xx}\phi_0(y-y_0),\tag{12}$$

$$\begin{gathered}\phi_0(y-y_0)=\frac{e^{-(y-y_0)^2/(2l_0^2)}}{(\pi l_0^2)^{1/4}},\\y_0=-\frac{c\hbar k_x}{qB}=-l_0^2k_x.\end{gathered}\tag{13}$$

Здесь $\phi_0$ — основное состояние осциллятора частоты $\omega_L$.

(a) Покажите, что (12) — собственный вектор $\hat Y$ из (8), и найдите собственное значение. Тем самым (12) одновременно диагонализует $H,\hat Y$.

(b) Без расчёта выпишите собственные функции нижнего уровня $\psi_0'(x,y;k_y)$ для

$$A_y'=Bx,\qquad A_x'=A_z'=0.\tag{14}$$

Покажите, что они — собственные векторы $\hat X$ и одновременно диагонализуют $H,\hat X$. В отличие от (12), это плоские волны вдоль $y$ и осцилляторные функции вдоль $x$.

(c) Найдите калибровочное преобразование между (14),(11).

(d) Эти базисы диагонализуют некоммутирующие $\hat Y$ и $\hat X$. Какие преобразования должны связывать базисы?

(e) Проверьте линейную суперпозицию

$$\begin{gathered}\psi_0'(x,y;k_y)=e^{-iqf/(\hbar c)}\frac{l_0}{\sqrt{2\pi}}\\{}\times\int_{-\infty}^{\infty}\left[e^{-il_0^2k_xk_y}\psi_0(x,y;k_x)\right]\,dk_x.\end{gathered}\tag{15}$$

где $f$ найдено в (c), а $e^{-iqf/(\hbar c)}$ отвечает калибровочному преобразованию. [Указание: используйте преобразование Фурье (13),

$$\begin{gathered}\phi_0(y-y_0)=\frac{l_0}{(\pi l_0^2)^{1/4}}\\{}\times\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dk}{\sqrt{2\pi}}e^{ik(y-y_0)-l_0^2k^2/2},\end{gathered}$$

и подставьте его в правую часть (15).]

[Разный вид собственных функций при разных калибровках возможен благодаря бесконечному вырождению каждого уровня Ландау: калибровки выбирают разные базисы.]