Рассеяние на сферической потенциальной яме

При параметрах $\gamma,b$ рассмотрите сферически симметричный потенциал

$$V(\vec r)=V(r)=\begin{cases}-\dfrac{\hbar^2}{2m}\gamma^2,&r\le b,\\0,&r>b.\end{cases}\tag{1}$$

Плоская волна с импульсом $\hbar k$ рассеивается на нём. Рассматривайте $s$-волну, то есть $\ell=0$.

(a) Радиальное уравнение Шрёдингера имеет вид

$$\frac{d^2u(r)}{dr^2}+k^2u(r)=\frac{2m}{\hbar^2}V(r)u(r).$$

При $r>b$ решение равно $u(r)=\sin(kr+\delta_0)$. Запишите подходящее решение при $r\le b$. По граничному условию при $r=0$ добейтесь, чтобы у него был только один свободный параметр.

(b) Сшейте граничные условия и найдите $\delta_0$ как функцию $k,b$ при заданном $\gamma$.

(c) Вычислите длину рассеяния $a=-\lim_{k\to0}\tan(\delta_0)/k$. Постройте график $a/b$ от $\gamma b$; обе оси безразмерны.

(d) На графике должно быть много нулей. При соответствующих $\gamma b$ предельное низкоэнергетическое сечение $\sigma_0$ равно нулю: $s$-рассеяние подавлено. Это эффект Рамзауэра—Таунсенда. Численно найдите наименьшее положительное $\gamma b$, при котором $a=0$.

На графике должны быть также бесконечности при $\gamma b=(n+1/2)\pi$, где $n$ — неотрицательное целое число. Как ведут себя $\delta_0$ и $\sigma_0$ в этих точках? Согласуется ли это с ограничением из унитарности для парциальной волны?

(e) Исследуем бесконечности подробнее. До сих пор предел $E\to0$ брался сверху: энергия положительна и очень мала. Теперь пусть $E<0$ и $E\to0^-$; решения уравнения Шрёдингера соответствуют связанным состояниям. Равносильно можно положить $k=i\kappa$, $\kappa>0$. Связанное состояние с энергией, очень близкой к нулю, называется припороговым: оно близко к пороговой энергии существования связанных состояний. При каких $\gamma b$ появляются такие состояния? Сколько связанных состояний, включая остальные, поддерживает потенциал для каждого такого значения $\gamma b$? Рассматривается указанный в условии канал $\ell=0$ и предельное приближение к порогу снизу по энергии.

Для фиксированного $\ell$ матрица рассеяния, связывающая выходящую и входящую волны, имеет размер $1\times1$. Её полюс можно понимать как решение с выходящей волной без входящей. При продолжении к мнимому $k=i\kappa$ это соответствует связанным состояниям.

(f) Изобразите $u(r)$ как функцию $r/b$ при $k=0$ для $\gamma b=0,\pi/4,\pi/2,\pi$.

(g) Пусть $\gamma b$ немного больше $\pi/2$, так что имеется припороговое связанное состояние с энергией $-E_B$. Покажите, что для падающей волны с положительной малой энергией $E$ справедливо $\sigma_0\approx c/(E+E_B)$ при некотором $c$, и найдите $c$.

Это пример общего полезного принципа: низкоэнергетическое рассеяние позволяет обнаруживать связанные состояния.