Рассеяние на сферической дельта-оболочке

Рассмотрите $s$-рассеяние, то есть $\ell=0$, на потенциале

$$V(r)=\lambda\frac{\hbar^2}{2mR}\delta(r-R),$$

где $\lambda$ — большая положительная постоянная. Для определения фазового сдвига $\delta_0(k)$ нужно решить

$$\frac{d^2u}{dr^2}+k^2u=\frac\lambda R\delta(r-R)u$$

с условиями $u=0$ при $r=0$ и $u=\sin(kr+\delta_0)$ при $r>R$.

(a) Каково $u$ при $r<R$?

(b) Сравнив $u'(r)/u(r)$ непосредственно внутри и снаружи границы $r=R$, получите формулу для $\delta_0$.

(c) Найдите длину рассеяния $a=-\lim_{k\to0}\delta_0/k$.

(d) Пусть $\lambda\gg1$. Изобразите $\delta_0(k)$. Покажите, что при $kR$, немного меньшем $n\pi$, где $n$ — положительное целое число, фазовый сдвиг быстро возрастает на $\pi$ по мере приближения $kR$ к $n\pi$. Изобразите парциальное сечение $\sigma_0$. Покажите, что при фиксированном $kR$ в ведущем приближении большой $\lambda$ это $s$-рассеяние совпадает с рассеянием на непроницаемой сфере радиуса $R$ всюду, кроме окрестностей $kR=n\pi$. Каков смысл этих значений?