Два электрона и обменный гамильтониан Гейзенберга

Два электрона имеют одночастичные пространственные функции $\psi_1,\psi_2$. Сначала взаимодействие отсутствует:

$$H=H_0(\vec r_1)+H_0(\vec r_2),\tag{7}$$

где $H_0$ не зависит от спина. Для простоты $\psi_1,\psi_2$ — разные ортогональные собственные состояния $H_0$ с одной энергией.

Пространственная функция полной системы может быть симметрична или антисимметрична относительно обмена координатами. Электроны — фермионы со спином $1/2$, поэтому полная функция антисимметрична при одновременном обмене координатами и спинами.

(a) При антисимметричной пространственной функции выпишите полные волновые функции. Найдите собственные векторы и значения квадрата и $z$-компоненты полного спина $\vec S_{\mathrm{tot}}=\vec S_1+\vec S_2$.

(b) Повторите (a) для симметричной пространственной функции.

(c) Пока все состояния (a),(b) имеют одну энергию. Добавьте

$$H'=C\vec S_1\cdot\vec S_2.\tag{8}$$

Эта спиновая сила связана с взаимодействием магнитного момента каждого электрона с полем другого. Найдите собственные состояния с учётом $H'$ и энергии состояний из (a),(b).

(d) Отбросьте (8), но добавьте кулоновское отталкивание

$$H''=\frac{e^2}{|\vec r_1-\vec r_2|}.\tag{9}$$

В первом порядке теории возмущений найдите его вклад в разность энергий $\epsilon$ между состояниями (a),(b). Пространственные функции не заданы, поэтому ответ можно оставить интегралом.

(e) При наличии $H''$ и отсутствии $H'$ обоснуйте описание системы эффективным гамильтонианом

$$H_{\mathrm{eff}}=-J\vec S_1\cdot\vec S_2.\tag{10}$$

Выразите $J$ через $\epsilon$. Какой знак $J$ вы ожидаете по 1(a)? Подробный расчёт и строгое доказательство не требуются: достаточно рассуждения о том, что симметрия/антисимметрия сближает/раздвигает частицы и этим повышает/понижает кулоновское отталкивание.

[Упражнение показывает, как зависимость от координат без явной зависимости от спинов у двух или многих электронов имитируется эффективным спиновым взаимодействием. Это следствие принципа Паули, связывающего спин и пространство. Гейзенберг использовал (10) для объяснения ферромагнетизма. Прямые взаимодействия (8) в твёрдом теле тоже существуют, но, согласно оценке исходного листка, примерно в сто раз слабее эффективного электростатического взаимодействия (10).]