Зоны произвольного одномерного периодического потенциала

Пусть одномерный периодический потенциал $U(x)$ — сумма одинаковых барьеров $v(x)$ ширины $a$ с центрами $x=na$, где $n$ целое. Требуется $v(x)=v(-x)$ и $v(x)=0$ при $|x|\ge a/2$; форма внутри произвольна. Первый рисунок показывает отдельный барьер.

Периодический потенциал равен

$$U(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}v(x-na);$$

он показан на втором рисунке.

Сначала рассмотрим $v$. При любой энергии $E>0$ два линейно независимых решения описывают падение слева и справа:

$$\psi_L(x)=\begin{cases}e^{ikx}+re^{-ikx},&x\le-a/2,\\te^{ikx},&x\ge a/2,\end{cases}\tag{1}$$

$$\psi_R(x)=\begin{cases}te^{-ikx},&x\le-a/2,\\e^{-ikx}+re^{ikx},&x\ge a/2.\end{cases}\tag{2}$$

Здесь $E=\hbar^2k^2/(2m)$. Вид функций внутри барьера не понадобится. Чётность $v$ обеспечивает одинаковые амплитуды отражения $r$ и прохождения $t$ в (1),(2). Запишем

$$t=|t|e^{i\delta},\tag{3}$$

где вещественный фазовый сдвиг $\delta$ задаёт фазу прошедшей волны относительно падающей. Сохранение вероятности даёт

$$|t|^2+|r|^2=1.\tag{4}$$

Так введены обозначения и повторён материал курса 8.04.

(a) Для двух решений с одной энергией уравнения

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_i}{dx^2}+v(x)\psi_i=E\psi_i$$

определим вронскиан

$$W(\psi_1,\psi_2)=\psi_2(x)\frac{d\psi_1}{dx}-\psi_1(x)\frac{d\psi_2}{dx}.$$

Докажите $dW/dx=0$, то есть независимость $W$ от $x$.

(b) Вычислив $W(\psi_L,\psi_R^*)$, покажите, что $rt^*$ чисто мнимо. Следовательно,

$$r=\pm i|r|e^{i\delta},\tag{5}$$

с той же фазой $\delta$, что в (3).

(c) В области $-a/2\le x\le a/2$ потенциалы $U$ и $v$ совпадают, поэтому любое решение для $U$ имеет вид

$$\psi(x)=A\psi_L(x)+B\psi_R(x).\tag{6}$$

По теореме Блоха $\psi(x+a)=e^{iKa}\psi(x)$ и $\psi'(x+a)=e^{iKa}\psi'(x)$. Применяя их при $x=-a/2$, получите

$$\cos Ka=\frac{t^2-r^2}{2t}e^{ika}+\frac1{2t}e^{-ika},\qquad E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}.\tag{7}$$

[Если вы получите соотношение только между величинами (7), но не сможете привести его к форме (7), потеря баллов будет небольшой. В следующих пунктах используйте именно (7).]

(d) По (4),(5),(7) докажите

$$\cos Ka=\frac{\cos(ka+\delta)}{|t|}.\tag{8}$$

Сохранение вероятности допускает $|t|\le1$, включая единичное прохождение на резонансе. При больших $k$ конечный барьер обычно менее эффективен и $|t|\to1$. Если $|t|<1$, в окрестности $ka+\delta=n\pi$ модуль правой части (8) превосходит единицу, и действительного $K$ нет. Эти области энергии — запрещённые зоны. Здесь уточнены строгий знак и модуль в исходнике.

(e) При очень сильном барьере, $|t|\approx0$, $|r|\approx1$, покажите, что разрешённые энергетические зоны узки, с ширинами порядка $|t|$. [Это приближение сильной связи: глубоко связанный атомный уровень в кристалле становится узкой зоной. Переход между атомными ямами требует туннелирования ниже вершины барьера, поэтому $|t|$ мало.]

(f) Для слабого барьера, $|t|\approx1$, $|r|\approx0$, $\delta\approx0$, покажите, что запрещённые зоны узки. Ширина зоны, содержащей $k=n\pi/a$, равна $Cn|r|$; найдите $C$. [Состояния непрерывного спектра выше вершины барьера тоже разделяются на зоны; промежутки между ними сужаются на высоких энергиях.]