Калибровочная инвариантность уравнения Шрёдингера

Оператор скорости равен

$$\hat{\mathbf v}=\frac1m\left(\mathbf p-\frac qc\mathbf A\right).\tag{2}$$

Калибровочное преобразование с функцией $\Lambda(\mathbf x,t)$ имеет вид

$$\psi'=U\psi,$$

$$U=\exp\left(\frac{iq\Lambda}{\hbar c}\right),$$

$$\mathbf A'=\mathbf A+\nabla\Lambda,\qquad \Phi'=\Phi-\frac1c\frac{\partial\Lambda}{\partial t}.\tag{3}$$

(a) Докажите калибровочную инвариантность уравнения Шрёдингера: покажите, что уравнение для $\psi$ с исходными потенциалами влечёт уравнение для $\psi'$ с преобразованными потенциалами.

(b) Физические наблюдаемые — эрмитовы операторы $O$, калибровочно ковариантные в следующем смысле: при преобразовании с параметром $\Lambda(\mathbf x,t)$, переводящем $O$ в $O'$, выполняется

$$O'=UOU^{-1}.$$

Объясните, почему средние таких наблюдаемых калибровочно инвариантны:

$$\langle\psi'|O'|\psi'\rangle=\langle\psi|O|\psi\rangle.$$

Кратко объясните ответы:

i. Калибровочно ковариантна ли сумма ковариантных операторов?

ii. Калибровочно ковариантно ли их произведение?

iii. Ковариантен ли $\hat x_i$?

iv. Ковариантен ли $\hat p_i$?

v. Ковариантен ли $\hat v_i$?

vi. Ковариантен ли гамильтониан $H$ при произвольных калибровочных преобразованиях? Если да, докажите; если нет, найдите класс преобразований, при которых он ковариантен.