Операторы центра и радиуса квантовой орбиты

Оператор скорости равен

$$\hat{\mathbf v}=\frac1m\left(\mathbf p-\frac qc\mathbf A\right).\tag{2}$$

Калибровочное преобразование с функцией $\Lambda(\mathbf x,t)$ имеет вид

$$\psi'=U\psi,$$

$$U=\exp\left(\frac{iq\Lambda}{\hbar c}\right),$$

$$\mathbf A'=\mathbf A+\nabla\Lambda,\qquad \Phi'=\Phi-\frac1c\frac{\partial\Lambda}{\partial t}.\tag{3}$$

Получите ответы без явного выбора калибровки. Электрическое поле равно нулю, всё движение происходит в плоскости $(x,y)$.

$$\omega_c\equiv\frac{qB}{mc},$$

$$l_B\equiv\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega_c}}=\sqrt{\frac{\hbar c}{qB}}.\tag{1}$$

(a) Для произвольного, не обязательно постоянного магнитного поля найдите $[\hat v_x,\hat v_y]$.

(b) Пусть $\mathbf B=B\hat{\mathbf z}$ постоянно. По аналогии с классическими координатами центра орбиты введите

$$\hat X\equiv\hat x+\frac{\hat v_y}{\omega_c},$$

$$\hat Y\equiv\hat y-\frac{\hat v_x}{\omega_c}.\tag{6}$$

Калибровочно ковариантны ли $\hat X,\hat Y$? Найдите $[\hat X,\hat Y]$. Это простейший физический пример некоммутирующих координат.

(c) Покажите сохранение координат центра:

$$[\hat X,H]=[\hat Y,H]=0.\tag{7}$$

Вместе с их некоммутативностью это означает, что с гамильтонианом можно одновременно диагонализовать не более одного из $\hat X,\hat Y$. Подсказка: удобно взять $H=\frac12m(\hat v_x^2+\hat v_y^2)$ и сначала найти коммутаторы $\hat X,\hat Y$ с обеими компонентами скорости.

(d) Введите квадрат расстояния центра орбиты до начала координат:

$$\hat R^2\equiv\hat X^2+\hat Y^2.$$

Найдите его спектр. Подсказка: рассматривайте $\hat R^2$ как гамильтониан осциллятора.

(e) Определите оператор квадрата радиуса орбиты:

$$r_c^2\equiv(\hat x-\hat X)^2+(\hat y-\hat Y)^2.\tag{8}$$

Найдите его спектр. Подсказка: выразите его через скорости.

(f) Угловой момент $\hat L_z=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x$ не является калибровочно ковариантным. Чтобы определить инвариантную версию, положите

$$\hat{\mathcal L}_z=\hat x m\hat v_y-\hat y m\hat v_x+\cdots,\tag{9}$$

и найдите пропущенные слагаемые через $B,\hat x,\hat y$ и постоянные, требуя совпадения с $\hat L_z$ в круговой калибровке $(A_x,A_y)=\frac12B(-y,x)$. Для доказательства сохранения этого момента свяжите его с другими сохраняющимися величинами: покажите пропорциональность $\hat{\mathcal L}_z$ разности $\hat R^2-r_c^2$.