Длительность адиабатического переворота спина

Неподвижная частица со спином $1/2$ может менять направление спина под действием переменного магнитного поля. Гамильтониан равен

$$H=-\frac{2\mu_0}{\hbar}\vec S\cdot\vec B(t),\qquad \mu_0>0.$$

В момент $t=-T$ поле велико и направлено преимущественно вдоль $-\hat z$. Будем медленно уменьшать продольное поле до нуля, затем увеличивать в обратном направлении до $t=T$. Одновременно присутствует малое постоянное поперечное поле:

$$\vec B(t)=(B_x,B_y,\gamma t),\qquad -T\le t\le T.$$

Пусть $\gamma>0$ и $\gamma T\gg\sqrt{B_x^2+B_y^2}$: на концах интервала поле преимущественно направлено вдоль $\pm\hat z$. Обозначим основное состояние $|\psi_+(t)\rangle$, возбуждённое — $|\psi_-(t)\rangle$. Их спины соответственно параллельны и антипараллельны полю. В момент $-T$ спин находится в $|\psi_+(-T)\rangle$.

(a) По адиабатической теореме покажите, что при подходящих $B_x,B_y,\gamma$ частица с вероятностью, близкой к единице, окажется в $|\psi_+(T)\rangle$ с точностью до общей фазы. Какое условие на параметры необходимо?

(b) Объясните, почему $\gamma T\gg\sqrt{B_x^2+B_y^2}$ означает $|\psi_+(-T)\rangle\approx|-\rangle$ и $|\psi_+(T)\rangle\approx|+\rangle$. Совместите это условие с адиабатическим условием из (a) и получите нижнюю границу $T$, не зависящую от $\gamma$.

(c) Рассмотрите пространственно неоднородное поле. Адиабатическая теорема помогает понять магнитные ловушки, которыми атомные физики MIT удерживают очень холодные спин-поляризованные газы. Классическая сила на диполь $\vec\mu$ в неоднородном поле равна

$$\vec F=(\vec\mu\cdot\vec\nabla)\vec B(\vec x).\tag{3}$$

Градиенты можно подобрать так, чтобы атом с антипараллельным локальному полю спином испытывал силу к центру ловушки, а атом с параллельным спином выталкивался. Поэтому удерживается только одна поляризация. Но поле меняется в пространстве: как обеспечить, чтобы тепловое движение атомов сохраняло антипараллельность спина локальному полю? Для атомов массы $m$ при температуре $T$ запишите адиабатическое неравенство через $m,k_BT,\mu_0,\vec B$.

(d) Поскольку удерживающую силу создают градиенты, может показаться, что нулевое поле в одной точке не мешает. В действительности оно создаёт проблемы; ловушки проектируют так, чтобы $\vec B\ne0$ всюду. Объясните почему.