Переход Ландау — Зенера при слабой связи

Рассмотрите гамильтониан

$$H=\begin{pmatrix}\alpha t/2&V\\V^*&-\alpha t/2\end{pmatrix},\qquad \alpha>0.$$

Здесь $V=H_{12}$ и $\alpha$ постоянны, $E_1$ и $E_2$ — его диагональные элементы, а $|1\rangle=(1,0)^T$, $|2\rangle=(0,1)^T$ — диабатический базис. Ищем решение в виде

$$|\Psi(t)\rangle=A(t)e^{-(i/\hbar)\int_0^tE_1(s)\,ds}|1\rangle+B(t)e^{-(i/\hbar)\int_0^tE_2(s)\,ds}|2\rangle.$$

(a) Выведите из уравнения Шрёдингера два связанных линейных уравнения первого порядка для $A$ и $B$ и одно линейное уравнение второго порядка для $B$. Можно использовать $E_{12}=E_1-E_2$.

(b) При $t=-\infty$ система находится в $|2\rangle$: $B(-\infty)=1$, $A(-\infty)=0$. Проверьте, что при $V=0$ амплитуды постоянны. Считая $V$ малым, найдите уравнение первого порядка по $V$ для $A(t)$, амплитуду $A(+\infty)$ и вероятность остаться в $|2\rangle$ в этом приближении. Подсказка. В интеграле для $A(+\infty)$ используются интегралы Френеля.