Рассеяние на сферической потенциальной яме

Для некоторых параметров $\gamma,b$ рассмотрите сферически-симметричный потенциал

$$V(\mathbf r)=V(r)=\begin{cases}-\dfrac{\hbar^2}{2m}\gamma^2,&r\le b,\\0,&r>b.\end{cases}$$

Рассматривается s-рассеяние ($\ell=0$) падающей плоской волны с импульсом $\hbar k$.

(a) Вычислите фазовый сдвиг $\delta_0$. Выразите ответ через $k,b$ и вещественную положительную постоянную $q$, определённую равенством $q^2\equiv k^2+\gamma^2$.

(b) Найдите длину рассеяния $a\equiv-\lim_{k\to0}\tan(\delta_0)/k$ и постройте график $a/b$ как функции $\gamma b$. На графике должно быть много нулей. При этих значениях $\gamma b$ предельное сечение при $k\to0$ равно $\sigma_0=0$: низкоэнергетическое s-рассеяние подавлено. Это эффект Рамзауэра — Таунсенда. Численно найдите наименьшее положительное значение $\gamma b$, при котором $a=0$.

На графике должны быть также бесконечности при $\gamma b=(n+1/2)\pi$, где $n$ — неотрицательное целое число. Что происходит в этих точках с $\delta_0,\sigma_0$? Согласуется ли это с ограничением унитарности для парциальной волны?

(c) Рассмотрим эти бесконечности подробнее. До сих пор предел $E\to0$ брался сверху: $E$ была положительна и очень мала. Теперь рассмотрите $\lim_{E\to0^-}$: энергия отрицательна и стремится к нулю. Решения уравнения Шрёдингера соответствуют связанным состояниям. Можно эквивалентно положить $k=i\kappa$ с $\kappa>0$.

Связанное состояние с энергией очень близкой к нулю называют пороговым. При каких $\gamma b$ появляются пороговые связанные состояния? Сколько связанных состояний, включая не только пороговые, поддерживает потенциал при каждом таком значении?

Комментарий автора: при фиксированном $\ell$ элемент S-матрицы — это дополнительная фаза $e^{2i\delta_\ell}$ выходящей волны относительно входящей. При $k=i\kappa$, $\kappa>0$, выходящая волна становится убывающей экспонентой, а входящая — растущей. Если при таком $k$ элемент $e^{2i\delta_\ell(k)}=\infty$, растущая экспонента фактически исчезает: получается связанное состояние.

(d) Изобразите радиальное решение $u(r)$ как функцию $r/b$ при $k=0$ и $\gamma b=0,\pi/4,\pi/2,\pi$.

(e) Пусть $\gamma b$ немного больше $\pi/2$, так что имеется пороговое связанное состояние с энергией $-E_B$, где $E_B>0$. Покажите, что для падающих волн малой положительной энергии $E$

$$\sigma_0\approx\frac c{E+E_B},$$

и найдите постоянную $c$. Результат показывает, как по рассеянию при малой энергии обнаруживать неглубокие связанные состояния.

В (c) подсчитываются состояния указанного канала $\ell=0$; порог понимается как предел отрицательной энергии.