Рассеяние на дельта-оболочке

Рассмотрите s-рассеяние на потенциале

$$V(r)=\lambda\frac{\hbar^2}{2mR}\delta(r-R),$$

где $\lambda$ — большая положительная постоянная.

(a) Обозначим радиальное решение через $u$. Сравнивая $u'(r)/u(r)$ непосредственно внутри и снаружи поверхности $r=R$, найдите формулу для определения $\delta_0$.

(b) Найдите длину рассеяния $a\equiv-\lim_{k\to0}\tan(\delta_0)/k$.

(c) Пусть $\lambda\gg1$. Изобразите $\delta_0(k)$. Покажите, что при $kR$ чуть ниже $n\pi$, где $n$ — положительное целое, фазовый сдвиг быстро возрастает на $\pi$ при увеличении $kR$ к $n\pi$. Изобразите s-сечение $\sigma_0$. Покажите, что s-рассеяние на этом потенциале при фиксированном $kR$ в ведущем порядке по большой $\lambda$ совпадает с рассеянием на твёрдой сфере радиуса $R$ для значений $kR$, кроме значений вблизи $n\pi$. Каков смысл этих значений?