Чистота состояния и длина вектора Блоха

(a) Чистота состояния $\rho$ определена как $\operatorname{Tr}\rho^2$. Покажите, что $\operatorname{Tr}\rho^2\le1$, причём равенство возможно только для чистого состояния. (b) Что это означает для вектора Блоха $\mathbf n$ двухуровневой системы, где $\rho=(I+\mathbf n\cdot\boldsymbol\sigma)/2$? (c) Чему равны векторы Блоха для $|1\rangle\langle1|$, $|-\rangle\langle-|$, $\rho=\begin{pmatrix}2/5&e^{i\pi/3}\sqrt3/2\\e^{-i\pi/3}\sqrt3/2&3/5\end{pmatrix}$ и $|\psi\rangle\langle\psi|$, где $|\psi\rangle=(|1\rangle+|+\rangle)/\sqrt{2+\sqrt2}$? Чему равно $\langle\sigma_y\rangle$ в каждом случае?