Фотонное измерение положения и потеря когерентности

Атом или ион в двойной яме занимает левую или правую яму с энергиями $E_L=E_0+\Delta E$, $E_R=E_0-\Delta E$. Через невысокий барьер частица туннелирует с частотой $\Gamma$. Учитываем только положение. Можно положить $E_0=0,\hbar=1$. На рисунке слева двойная яма, справа — яма при $\Delta E=0$ с потоком фотонов через левую половину. (a) Найдите туннельный и полный гамильтонианы. (b) Фотон в $|0\rangle$ при взаимодействии с частицей в левой яме переходит в $|1\rangle$, а из $|1\rangle$ перешёл бы в $|0\rangle$. Найдите совместный унитарный оператор. Позволяет ли измерение фотона установить положение частицы? (c) Для начальных $(|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt2$ и $|0\rangle$ становится ли совместное состояние запутанным после мгновенного взаимодействия? (d) Каково редуцированное состояние частицы, если неисправный детектор поглощает фотон, не записывая его состояние? (e) Полностью перекрыть поток фотонов интенсивности $I$ нельзя. Каждый фотон в $|0\rangle$ рассеивается частицей, только если она слева, и с вероятностью $p=I\delta t$ переходит в $|1\rangle$. Опишите эволюцию частицы за счёт взаимодействия с фотоном в виде суммы Крауса, пренебрегая гамильтонианом частицы. (f) При начальной матрице $\rho_0=(\rho_{ij})$, $i,j=L,R$, найдите $\rho_n$ после последовательного взаимодействия с $n$ фотонами. (g) При $\delta t\to0$ выразите $\rho_n$ через $t=n\delta t$. (h) Найдите предел при $t\to\infty$ для начального $(|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt2$ и сравните с (d).