Спиновое эхо в случайном поле

В неоднородном поле спины приобретают фазы $\phi(t)=\gamma B(z)t=\omega(z)t$. Эволюция ансамбля $S[\rho]=\langle e^{-i\phi\sigma_z/2}\rho e^{i\phi\sigma_z/2}\rangle$ усредняется по распределению фаз. (a) Для $\rho(0)=(I+P\sigma_x)/2$ найдите $\rho(\tau)$. (b) В момент $\tau/2$ применяется мгновенный $\pi$-импульс, меняющий местами $|0\rangle$ и $|1\rangle$, например $\sigma_x$. Каково $\rho(\tau)$ после свободной прецессии, импульса и второй прецессии? (c) Как изменится ответ при $\phi(t)=\int_0^t\omega(t^\prime)dt^\prime$ со случайной зависящей от времени частотой? (d) В ответ входит средний косинус разности интегралов частоты по двум половинам интервала. Для стационарной гауссовской переменной нулевого среднего $\langle e^{i\theta}\rangle=e^{-\langle\theta^2\rangle/2}$. Найдите $\rho(\tau)$ при стационарном гауссовском процессе $\omega(t)$ нулевого среднего. Можно ли описать процесс простым управляющим уравнением?