Знак ангармонической связи двух колебательных мод

Ангармоническая связь. $$H=h_1+h_2+h_{12},\qquad h_i/(hc)=(\omega_i/2)(a_i^\dagger a_i+a_i a_i^\dagger)+(x_{ii}/4)(a_i^\dagger a_i+a_i a_i^\dagger)^2\quad(i=1,2),\qquad h_{12}/(hc)=k_{122}(a_1^\dagger+a_1)(a_2^\dagger+a_2)^2.$$ Величины $\omega_1,x_{11},\omega_2,x_{22},k_{122}$ выражены в см$^{-1}$. Цель задачи — выяснить, возможно ли экспериментально определить знак $k_{122}$ и каким способом. Этот знак имеет физический смысл: при $k_{122}>0$ растяжение связи 1 ($Q_1$) увеличивает частоту колебаний связи 2, а при $k_{122}<0$ уменьшает её. Уровни энергии двухмодового осциллятора задаются эффективным гамильтонианом с диагональными элементами $$E^{(0)}(v_1,v_2)/(hc)=\omega_1(v_1+1/2)+\omega_2(v_2+1/2)+x_{11}(v_1+1/2)^2+x_{22}(v_2+1/2)^2+x_{12}(v_1+1/2)(v_2+1/2)$$ и при $\omega_1\approx2\omega_2$ группируются в квазивырожденные блоки, каждый со своим квантовым числом полиады $P=2v_1+v_2$. Внедиагональные элементы внутри блока задаются оператором $$\Omega+\Omega^\dagger=k_{122}[a_1a_2^\dagger a_2^\dagger+a_1^\dagger a_2a_2]$$ с правилом отбора $2\Delta v_1=-\Delta v_2$. A. Составьте блок $H$ для полиады $P=10$. Это матрица $6\times6$. Положите $\omega_1=1000\ \mathrm{см}^{-1},\omega_2=500\ \mathrm{см}^{-1},x_{11}=10\ \mathrm{см}^{-1},x_{22}=5\ \mathrm{см}^{-1},x_{12}=0$, $k_{122}=\pm100\ \mathrm{см}^{-1}$. Найдите уровни для обоих знаков $k_{122}$. Наблюдаем ли его знак? Если нет, можно пропустить пункт B, если только вам не удастся придумать способ обнаружить знак по временной зависимости. B. Используйте алгебру операторов, чтобы предложить зависящую от времени наблюдаемую, чувствительную к знаку $k_{122}$. C. Исследуйте зависимость $\langle a_1^\dagger a_1\rangle_t$ от времени для каждого из шести способов возбудить одно базисное состояние полиады $P=10$. Какое возбуждение наиболее чувствительно к значению $k_{122}$? D. Исследуйте зависимость среднего $\langle\Omega+\Omega^\dagger\rangle_t$ от времени для каждого из шести способов возбудить одно базисное состояние этой полиады. Какое возбуждение наиболее чувствительно к значению $k_{122}$? E. Если вы пришли к выводу, что знак $k_{122}$ не наблюдаем, замените $h_{12}$ на $h_{12}=k_{1122}(a_1^\dagger+a_1)^2(a_2^\dagger+a_2)^2$ и положите $\omega_1=\omega_2=1000\ \mathrm{см}^{-1}$, $x_{11}=x_{22}=10\ \mathrm{см}^{-1}$, $k_{1122}=\pm100\ \mathrm{см}^{-1}$. Покажите, что знак $k_{1122}$ наблюдаем.