Квантовые биения в трёхуровневой системе

Рассмотрите трёхуровневую матрицу $H=\hbar\omega\begin{pmatrix}10&1&0\\1&0&2\\0&2&-10\end{pmatrix}$. Обозначайте собственные энергии и функции по доминирующему базисному состоянию: в состоянии $\widetilde{10}$ преобладает невозмущённое состояние с $E^{(0)}=10$, в $\widetilde0$ — с $E^{(0)}=0$, в $\widetilde{-10}$ — с $E^{(0)}=-10$.
A. Получите энергии $E_{\widetilde{10}},E_{\widetilde0},E_{\widetilde{-10}}$ с помощью теории невырожденных возмущений. Подсказка: $H^{(0)}$ диагональна, $H^{(1)}$ недиагональна.
B. С помощью теории невырожденных возмущений найдите функции $\psi_{\widetilde{10}},\psi_{\widetilde0},\psi_{\widetilde{-10}}$. Подсказка: не нормируйте.
C. Покажите приближённое равенство $\int\psi_{\widetilde{-10}}H\psi_{\widetilde{-10}}dx\approx E_{\widetilde{-10}}$. Подсказка: нормируйте делением на $\int\psi_{\widetilde{-10}}^*\psi_{\widetilde{-10}}dx$.
D. Из результатов B запишите элементы матрицы $T^\dagger$, которая, согласно теории невырожденных возмущений, даёт почти диагональную матрицу $\widetilde H=T^\dagger HT$. Не нормируйте и не вычисляйте $T^\dagger HT$.
E. Пусть в момент $t=0$ приготовлено состояние $\Psi(x,0)=\psi_0^{(0)}(x)$. По соответствующим элементам $T^\dagger$ разложите $\Psi(x,0)$ по собственным состояниям $\psi_{\widetilde{10}},\psi_{\widetilde0},\psi_{\widetilde{-10}}$. Подсказка: столбцы $T$ — строки $T^\dagger$.
F. Для полученного в E состояния $\Psi(x,0)=c_{\widetilde{10}}\psi_{\widetilde{10}}+c_{\widetilde0}\psi_{\widetilde0}+c_{\widetilde{-10}}\psi_{\widetilde{-10}}$ запишите $\Psi(x,t)$ без нормировки. Если вы сомневаетесь в выведенных коэффициентах, оставьте их в буквенном виде.
G. В опыте состояние $\Psi(x,t)$ исследуется по флуоресценции исключительно его невозмущённой компоненты $\psi_0^{(0)}$. Она определяется величиной $P_0(t)=|\int\Psi(x,t)\psi_0^{(0)}dx|^2$ и модулируется на нескольких частотах. (i) Чему равно $P_0(0)$? (ii) На каких частотах модулируется вклад невозмущённого состояния $\psi_0^{(0)}$ в наблюдаемую флуоресценцию?