Внутренние узлы высоковозбуждённых s-состояний водорода

Радиальная часть гамильтониана атома водорода включает эффективный потенциал $V_l(r)=-1/r+l(l+1)/(2r^2)$. Собственные функции и собственные значения радиальной задачи получаются из дифференциального уравнения второго порядка для $\chi_{nl}(r)=rR_{nl}(r)$:
$$[-(\hbar^2/(2\mu_H))\,d^2/dr^2-V_l(r)]\chi_{nl}(r)=E_{nl}\chi_{nl}(r).$$
Исследуйте эту задачу в квазиклассическом приближении, не решая само дифференциальное уравнение.

Соотношение де Бройля $\lambda=h/p$ можно обобщить для зависящего от $r$ импульса: $p(r)=\sqrt{2m(E_{nl}-V_l(r))}=h/\lambda(r)$. Поэтому $\lambda(r)=h[2m(E_{nl}-V_l(r))]^{-1/2}$. Интеграл $h^{-1}\int_{r_-(E_{nl})}^{r_+(E_{nl})}p_{E_{nl}}(r)dr$ даёт количество квазиклассических длин волн между точками поворота потенциала $V_l$ при этой энергии.

Что обобщённое определение $\lambda(r)$ де Бройля говорит о расположении узлов в атоме водорода при $l=0$?
(i) Вычислите координату самого внутреннего узла $\chi_{nl}(r)$ для $l=0$, $n=10$ и $n=20$, где $E_{10s}=-hc\mathcal R_H/10^2$, $\mathcal R_H=109679$ см$^{-1}$. Это покажет, что первые узлы всех членов любой ридберговской серии $nl$ при $n\gtrsim6$ находятся примерно при одном и том же $r$.
(ii) Схематично изобразите все внутренние узлы $10s$. Какие узлы расположены ближе всего, а какие — дальше всего друг от друга?