Форма волновой функции и предсказания измерений

Рассмотрите следующие ненормированные волновые функции частицы в одном измерении, где $x$ — безразмерная переменная:
$$\psi_1\propto\delta(x-1),\quad\psi_2\propto\delta(x-2),\quad\psi_3\propto e^{ix},\quad\psi_4\propto e^{2ix},$$
$$\psi_5\propto\delta(x-1)+\delta(x-2),\quad\psi_6\propto e^{ix}+e^{2ix},$$
$$\psi_7(x)=\begin{cases}N,&-a/2\le x\le a/2,\\0,&\text{иначе},\end{cases}\qquad\psi_8(x)=Ne^{-(x-x_0)^2/a^2}e^{ik_0x}.$$

Для каждой функции:
(a) Схематично изобразите волновую функцию и соответствующее распределение вероятности. Если приходится рисовать комплексное число, для простоты изобразите только действительную часть. Комплексную бумагу трудно найти. Если нужно изобразить дельта-функцию $\delta(x)$ (или её квадрат!), можно заменить её узкой гауссовой функцией $\delta(x)\sim\delta_a(x)$ при $a\ll1$.
(b) Вычислите преобразование Фурье $\tilde\psi(k)$.
(c) Схематично изобразите $\tilde\psi(k)$ и соответствующее распределение вероятности. Как ведёт себя $P(k)$ при больших $k$? Дайте физическое истолкование.
(d) Где наиболее вероятно найти частицу? Каков наиболее вероятный импульс? Насколько вы уверены в предсказаниях? Достаточно оценки, вычисления не нужны.
Только для $\psi_8(x)$:
(e) Определите нормировочную константу $N$ с точностью до общей фазы.
(f) Вычислите средние значения $\langle x\rangle,\langle p\rangle$ и неопределённости $\Delta x,\Delta p$. Удовлетворяют ли значения принципу неопределённости? Если да, то насколько близко достигается граница? Что это говорит о волновых функциях такого вида?
(g) Как меняется форма волновой функции при $a\to0$? Что происходит с $\tilde\psi(k)$? Что происходит с обеими функциями при $a\to\infty$? Как ведут себя $\Delta x$ и $\Delta p$ в этих пределах? Осмыслен ли результат?