Разрыв волновой функции и бесконечная кинетическая энергия

Рассмотрите волновую функцию
$$\psi_7(x)=\begin{cases}N,&-a/2\le x\le a/2,\\0,&\text{иначе}.\end{cases}$$

Это ступенчатая функция с центром в начале координат. На первый взгляд она кажется вполне разумной: её можно нормировать, $\Delta x$ конечна, преобразование Фурье простое. Однако из-за разрывов при $x=\pm a/2$ действие $\hat p=-i\hbar\,\partial_x$ приводит к расходимостям, в частности к расходящимся средним значениям импульса. Вряд ли это физично! Уточним этот вопрос.
(a) Определите нормировочную константу $N$ и вычислите неопределённость $\Delta x$. Как результат соотносится с вашей оценкой для этой функции?
(b) Вычислите $\langle p\rangle$ и $\langle p^2\rangle$ с помощью преобразования Фурье волновой функции и формул для средних значений. Заметьте, что результат для $\langle p^2\rangle$ расходится. Каким должно быть поведение $\tilde\psi(k)$ при больших $k$, чтобы $\langle p^2\rangle$ было конечным?
Замечание. Можно также вычислить $\langle\hat p^2\rangle$ как $\int dx\,\psi^*(x)(-\hbar^2\partial_x^2)\psi(x)$. Проверка той же расходимости достаточно проста, но требует осторожности при работе с производными дельта-функций. Попробуйте, если готовы к непростым вычислениям.
Математически расходимость вызвана разрывом $\psi_7(x)$: для построения разрывной функции суперпозицией непрерывных волн приходится складывать бесконечно много волн со сравнимыми вкладами. Физически каждой волне соответствует определённый импульс, так что разрывная волна требует сколь угодно высоких импульсов. Чтобы среднее $\langle\hat p^2\rangle$ было конечным, следует требовать непрерывности физических волновых функций.