Преобразование Фурье сглаженной ступенчатой функции

Рассмотрите гладкую функцию
$$\psi_{7b}(x)=\frac N2\left[\tanh\!\left(\frac{x+a/2}b\right)-\tanh\!\left(\frac{x-a/2}b\right)\right].$$

Покажите, что её преобразование Фурье равно $\tilde\psi_{7b}(k)=N\sqrt{\pi/2}\,b\sin(ka/2)/\sinh(\pi kb/2)$.