Коммутаторы оператора числа возбуждений

Пусть $\phi_0$ — нормированное основное состояние гармонического осциллятора: $a\phi_0=0$, $\langle\phi_0|\phi_0\rangle=1$, где $a$ — понижающий оператор (оператор уничтожения), а $a^\dagger$ — повышающий (оператор рождения). Напомним, что $[a,a^\dagger]=1$. Определим оператор числа $\hat N=a^\dagger a$. Покажите, что $[\hat N,a]=-a$ и $[\hat N,a^\dagger]=+a^\dagger$. Каковы собственные функции и собственные значения $\hat N$?