Неравенство для среднего обратного радиуса

(a) Пусть $u$ — эрмитов оператор с неотрицательными собственными значениями; предполагается, что $u^{-1}$ и указанные средние определены для рассматриваемого состояния. Тогда

$$\left\langle\frac1u(u-\langle u\rangle)^2\right\rangle\geq0.$$

Используя это, докажите неравенство, связывающее $\langle1/u\rangle$ и $1/\langle u\rangle$.

(b) Проверьте полученное неравенство для $u=r$ в основном состоянии атома водорода, непосредственно вычислив $\langle r\rangle$ и $\langle1/r\rangle$. Второе среднее можно найти без интегрирования, воспользовавшись теоремой вириала: $\langle T\rangle=-\frac12\langle V\rangle$, где $T$ и $V$ — кинетическая и потенциальная энергии.

Может пригодиться интеграл:

$$\int_0^\infty dx\,x^ne^{-x}=n!,\qquad n=1,2,3,\ldots.$$

Радиальная функция основного состояния из справочного листа экзамена:

$$u_{1,0}(r)=\frac{2r}{a_0^{3/2}}e^{-r/a_0},\qquad a_0=\frac{\hbar^2}{me^2},$$

где $\psi_{n,\ell,m}(\mathbf x)=u_{n,\ell}(r)Y_{\ell,m}(\theta,\phi)/r$.