Скрытая симметрия трёхмерного осциллятора

Частица массы $m$ находится в трёхмерном изотропном гармоническом осцилляторе:

$$\hat H=\hbar\omega\left(\hat N_1+\hat N_2+\hat N_3+\frac32\right)=\hbar\omega\left(\hat N+\frac32\right),$$

$$\begin{aligned} \hat N_1&=\hat a_1^\dagger\hat a_1,\\ \hat N_2&=\hat a_2^\dagger\hat a_2,\\ \hat N_3&=\hat a_3^\dagger\hat a_3,\\ \hat N&\equiv\hat a_i^\dagger\hat a_i,\\ [\hat a_i,\hat a_j^\dagger]&=\delta_{ij},\quad i,j=1,2,3. \end{aligned}$$

Здесь $\hat a_i^\dagger$ и $\hat a_i$ — операторы повышения и понижения, $\hat N_i$ — операторы числа квантов, $\hat N$ — оператор полного числа квантов. По повторяющимся индексам проводится суммирование. Рассмотрим девять операторов

$$T_{ij}\equiv\hat a_i^\dagger\hat a_j,\qquad i,j=1,2,3.$$

(a) Некоторые $T$ вам знакомы. Выразите $\hat H$ и операторы числа квантов $\hat N_i$ через $T$.

(b) Операторы $T$ образуют замкнутую алгебру относительно коммутатора: их коммутаторы являются линейными комбинациями $T$. Проверьте это, вычислив $[T_{ij},T_{pq}]$.

(c) Являются ли операторы $T$ симметриями? Для ответа вычислите $[\hat H,T_{pq}]$.

(d) Представьте состояние $\hat a_1^\dagger(\hat a_3^\dagger)^2|0\rangle$ как действие некоторого $T$ на состояние $(\hat a_3^\dagger)^3|0\rangle$.

Введём новые операторы рождения и уничтожения:

$$\hat a_L\equiv\frac1{\sqrt2}(\hat a_1+i\hat a_2),\qquad\hat a_R\equiv\frac1{\sqrt2}(\hat a_1-i\hat a_2),$$

$$[\hat a_L,\hat a_L^\dagger]=[\hat a_R,\hat a_R^\dagger]=1,$$

$$\hat N_L=\hat a_L^\dagger\hat a_L,\qquad\hat N_R=\hat a_R^\dagger\hat a_R,\qquad\hat N_3=\hat a_3^\dagger\hat a_3.$$

Любой оператор от $(\hat a_L,\hat a_L^\dagger)$ коммутирует с любым оператором от $(\hat a_R,\hat a_R^\dagger)$. Гамильтониан и обычные операторы углового момента принимают вид

$$\hat H=\hbar\omega\left(\hat N_L+\hat N_R+\hat N_3+\frac32\right),$$

$$\hat L_z=\hbar(\hat a_R^\dagger\hat a_R-\hat a_L^\dagger\hat a_L)=\hbar(\hat N_R-\hat N_L),$$

$$\hat L_+=\sqrt2\hbar(\hat a_3^\dagger\hat a_L-\hat a_R^\dagger\hat a_3),$$

$$\hat L_-=\sqrt2\hbar(\hat a_L^\dagger\hat a_3-\hat a_3^\dagger\hat a_R).$$

Этот базис операторов удобен для анализа угловых моментов состояний.

(e) Рассмотрите вырожденные состояния с полным числом квантов $\hat N=n$, где $n$ — целое число, $n\geq2$. Эти состояния образуют представления углового момента с различными $\ell$. Каково наибольшее значение $\ell_*$? Объясните. Какие ещё значения $\ell$ встречаются? Объяснять последнее не требуется: это было выведено на лекции.

Для мультиплета $\ell=\ell_*$ явно постройте три состояния с наибольшими значениями $L_z$. Для мультиплета со следующим по величине значением $\ell_{**}$ постройте состояние с максимальным $L_z$. Нормировать состояния не требуется.

(f) Найдите оператор $K$ вида $T$, то есть содержащий произведение одного оператора рождения и одного оператора уничтожения, который коммутирует с гамильтонианом и переводит $|\ell_{**},\ell_{**}\rangle$ в $|\ell_*,\ell_*\rangle$. Этот оператор объясняет вырождение мультиплетов $\ell_*$ и $\ell_{**}$.