Поворот операторов и спиновых состояний

Ранее был рассмотрен оператор

$$R_\alpha(\mathbf n)\equiv\exp\left(-\frac{i\alpha S_{\mathbf n}}{\hbar}\right)=\exp\left(-i\frac\alpha2\,\mathbf n\cdot\boldsymbol\sigma\right).$$

Утверждалось, что при действии на спиновое состояние $|\mathbf n'\rangle$ он даёт другое спиновое состояние $|\mathbf n''\rangle$, где $\mathbf n''$ получается из $\mathbf n'$ поворотом на угол $\alpha$ вокруг оси вдоль $\mathbf n$.

(a) Пусть $\alpha=\epsilon$, где $\epsilon$ — бесконечно малый угол. Вычислите действие оператора поворота на векторный оператор спина $\mathbf S$, дополнив равенство

$$R_\epsilon^\dagger(\mathbf n)\mathbf S R_\epsilon(\mathbf n)=\mathbf S+\epsilon\ldots+O(\epsilon^2).\tag{1}$$

Нужно найти член порядка $O(\epsilon)$, обозначенный многоточием; членами $O(\epsilon^2)$ можно пренебречь.

(b) Возьмите среднее уравнения (1) в состоянии $|\mathbf n';+\rangle$, чтобы обосновать, что $R_\epsilon(\mathbf n)$ действительно поворачивает спиновые состояния указанным образом.