Игра с запутанной парой спинов
Рассмотрите запутанное состояние двух спинов:
$$|\Psi\rangle=\frac1{\sqrt2}(|+\rangle\otimes|+\rangle+|-\rangle\otimes|-\rangle).\tag{1}$$
Для состояния $|\psi\rangle=\alpha|+\rangle+\beta|-\rangle$ определим $|\overline\psi\rangle\equiv\alpha^*|+\rangle+\beta^*|-\rangle$.
(a) Рассмотрите спиновое состояние $|v_a\rangle$ первой частицы и $|w_b\rangle$ второй. Покажите, что вероятность получить эти состояния при измерении запутанной пары равна
$$P(v_a,w_b)=\frac12|\langle\overline{v_a}|w_b\rangle|^2.\tag{2}$$
Теперь рассмотрите игру Алисы и Боба против Чарли. Алиса и Боб находятся далеко друг от друга и не могут общаться. Используются биты — величины, принимающие значения ноль или один. В каждом раунде Чарли передаёт Алисе бит $x$, а Бобу бит $y$. Алиса не знает, какой бит получил Боб, а Боб не знает, какой бит получила Алиса. По $x$ Алиса должна выдать бит $a(x)$, а по $y$ Боб — бит $b(y)$. Алиса и Боб выигрывают, если
$$a+b\equiv xy\pmod2.$$
Например, при $x=y=1$ правая часть равна единице и для победы требуется $a\neq b$: $a=0$, $b=1$ либо $a=1$, $b=0$. Если хотя бы один из $x,y$ равен нулю, для победы нужно $a=b$: оба нуля либо обе единицы. Хорошая стратегия — всегда выдавать $a=b=1$ или всегда $a=b=0$. Тогда левая часть равна нулю и проигрыш наступает только при $x=y=1$. Вероятность победы равна $3/4$.
(b) В классической стратегии Алиса выбирает функцию $a(x)$ для своего выходного бита. Есть четыре возможности: $\{0,1,x,1-x\}$. Объясните почему. Аналогично Боб выбирает $b(y)$ из $\{0,1,y,1-y\}$. При любом выборе
$$a(x)+b(y)\equiv c_0+c_1x+c_2y\pmod2,$$
где $c_0$, $c_1$, $c_2$ равны нулю или единице. Покажите, что ни при каком выборе этих постоянных правая часть не совпадает с $xy\pmod2$ для всех входов, то есть всегда выигрывающей стратегии нет. Объясните, почему никакая классическая стратегия не может дать вероятность победы больше $3/4$.
Теперь Алиса и Боб используют квантовую стратегию с общей запутанной парой (1). Алиса использует базис
$$\begin{aligned}|v_0^x\rangle&\equiv\cos\frac{\alpha_x}2|+\rangle+\sin\frac{\alpha_x}2|-\rangle,\\|v_1^x\rangle&\equiv-\sin\frac{\alpha_x}2|+\rangle+\cos\frac{\alpha_x}2|-\rangle.\end{aligned}$$
Поскольку у $x$ два значения, у Алисы два базиса: при $x=0$ используются эти состояния с углом $\alpha_0$, а при $x=1$ — с углом $\alpha_1$. Аналогично Боб использует
$$\begin{aligned}|w_0^y\rangle&\equiv\cos\frac{\beta_y}2|+\rangle+\sin\frac{\beta_y}2|-\rangle,\\|w_1^y\rangle&\equiv-\sin\frac{\beta_y}2|+\rangle+\cos\frac{\beta_y}2|-\rangle.\end{aligned}$$
Для Боба тоже есть два базиса: при $y=0$ с углом $\beta_0$, при $y=1$ — с углом $\beta_1$.
При заданном $x$ Алиса измеряет свой спин в базисе $(|v_0^x\rangle,|v_1^x\rangle)$. Первый базисный вектор означает выход $a=0$, второй — $a=1$. При заданном $y$ Боб измеряет свой спин в базисе $(|w_0^y\rangle,|w_1^y\rangle)$ и выдаёт соответственно $b=0$ или $b=1$. Для стратегии нужно зафиксировать $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\beta_0$, $\beta_1$.
(c) Покажите, что вероятность равенства выходов при заданных $x,y$ равна
$$P[a=b\mid x,y]=\cos^2\frac12(\alpha_x-\beta_y).$$
(d) Найдите формулу вероятности победы $P$ через четыре угла $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\beta_0$, $\beta_1$. При правильном ответе должно получиться
$$P=\cos^2\frac\pi8=\frac12+\frac1{2\sqrt2}\simeq0.85355$$
при $\alpha_0=0$, $\alpha_1=\pi/2$, $\beta_0=\pi/4$, $\beta_1=-\pi/4$. Это улучшает вероятность победы примерно на 10 процентных пунктов по сравнению с классической стратегией. В квантовой стратегии выходы $a,b$ при заданных $x,y$ не детерминированы.