Два угловых момента четырёхмерного осциллятора

Частица массы $m$ находится в четырёхмерном изотропном гармоническом осцилляторе:

$$\hat H=\hbar\omega(\hat N_1+\hat N_2+\hat N_3+\hat N_4+2)=\hbar\omega(\hat N+2),$$

$$\begin{aligned} \hat N_1&=\hat a_1^\dagger\hat a_1,\\ \hat N_2&=\hat a_2^\dagger\hat a_2,\\ \hat N_3&=\hat a_3^\dagger\hat a_3,\\ \hat N_4&=\hat a_4^\dagger\hat a_4,\\ [\hat a_i,\hat a_j^\dagger]&=\delta_{ij},\quad i,j=1,2,3,4. \end{aligned}$$

Здесь $\hat a_i^\dagger$ и $\hat a_i$ — операторы повышения и понижения, $\hat N_i$ — операторы числа квантов, $\hat N$ — оператор полного числа квантов.

(a) Выпишите и сосчитайте состояния основного и первых двух возбуждённых уровней.

Представим осциллятор как тензорное произведение двух двумерных гармонических осцилляторов: первого для координат 1 и 2, второго для координат 3 и 4. Введём новые операторы рождения и уничтожения:

$$\hat a_L\equiv\frac1{\sqrt2}(\hat a_1+i\hat a_2),\qquad\hat a_R\equiv\frac1{\sqrt2}(\hat a_1-i\hat a_2),$$

$$[\hat a_L,\hat a_L^\dagger]=[\hat a_R,\hat a_R^\dagger]=1,$$

$$\hat b_L\equiv\frac1{\sqrt2}(\hat a_3+i\hat a_4),\qquad\hat b_R\equiv\frac1{\sqrt2}(\hat a_3-i\hat a_4),$$

$$[\hat b_L,\hat b_L^\dagger]=[\hat b_R,\hat b_R^\dagger]=1,$$

$$\begin{aligned} \hat N_L^{(1)}&=\hat a_L^\dagger\hat a_L,&\hat N_R^{(1)}&=\hat a_R^\dagger\hat a_R,\\ \hat N_L^{(2)}&=\hat b_L^\dagger\hat b_L,&\hat N_R^{(2)}&=\hat b_R^\dagger\hat b_R. \end{aligned}$$

С каждым двумерным осциллятором связана алгебра углового момента: $\mathbf J^{(1)}$ для первого и $\mathbf J^{(2)}$ для второго. Состояния каждого из них образуют представления соответствующего момента, описанные в справочном листе.

(b) Рассмотрите основное состояние и следующие три возбуждённых уровня полной системы. Их состояния можно сгруппировать в мультиплеты $j_1\otimes j_2$, где $j_1$ и $j_2$ относятся к $\mathbf J^{(1)}$ и $\mathbf J^{(2)}$. Составьте таблицу со столбцами: полное число квантов $N$, $j_1\otimes j_2$ и соответствующее число состояний. Выписывать состояния внутри каждого мультиплета и строить их операторами повышения не требуется.

Теперь рассмотрите возмущённый гамильтониан

$$\hat H'=\hat H+\frac{2E_0}{\hbar^2}\mathbf J^{(1)}\cdot\mathbf J^{(2)},$$

где $E_0\ll\hbar\omega$ — очень малая положительная энергия.

(c) Вычислите влияние возмущения на основное состояние и вырождения первых трёх возбуждённых уровней. Изобразите диаграмму исходных уровней и их расщеплений, указав числа состояний и представления. Сделайте крупную диаграмму на целую страницу, чтобы по ней можно было оценить результаты.

В справочном листе экзамена угловой момент двумерного осциллятора задан формулами

$$J_+=\hbar\hat a_R^\dagger\hat a_L,\qquad J_-=\hbar\hat a_L^\dagger\hat a_R,\qquad J_z=\frac\hbar2(\hat N_R-\hat N_L).$$

Для состояний $|j,m\rangle$ выполняется $j=(N_R+N_L)/2$ и $m=(N_R-N_L)/2$; пространство осциллятора разлагается как $0\oplus\frac12\oplus1\oplus\frac32\oplus\ldots$. Используйте это построение для каждого из двух осцилляторов задачи.