Рэлеевское рассеяние света в атмосфере

Рассмотрим упругое рассеяние света молекулой в атмосфере. Найдите частотную зависимость сечения и объясните голубой цвет неба и красный цвет заката. Состояния молекулы $|m_k\rangle$ имеют энергии $E_k$. Входящая и исходящая моды имеют волновые векторы $\mathbf k,\mathbf k^\prime$, энергии $\hbar\omega,\hbar\omega^\prime$ и поляризации $\lambda,\lambda^\prime$ (рисунок). В полости объёма $\mathcal V=L^3$ дипольное взаимодействие $V=-\mathbf d\cdot\mathbf E$, где $\mathbf E=\sum_{\mathbf h,\xi}\sqrt{2\pi\hbar\omega_h/\mathcal V}(a_{\mathbf h\xi}e^{i\mathbf h\cdot\mathbf R}+a^\dagger_{\mathbf h\xi}e^{-i\mathbf h\cdot\mathbf R})\boldsymbol\epsilon_{\mathbf h\xi}$, а $\mathbf R$ — положение центра масс. Сечение равно скорости перехода, делённой на падающий поток, а скорость $W_{fi}=(2\pi/\hbar)|\langle f|T|i\rangle|^2\rho(E_f)$. (a) Запишите $\langle f|T|i\rangle$ в низшем ненулевом порядке. (b) Какие промежуточные виртуальные состояния возможны? Упростите выражение. (c) Чему равны поток падающих фотонов и плотность исходящих состояний? (d) Найдите $d\sigma/d\Omega$. (e) При упругом рассеянии молекула возвращается в исходное состояние и $\omega^\prime=\omega$. Как сечение зависит от частоты и как это связано с цветом неба и заката?