Когерентная резонаторная мода как измеритель атома

Ридберговский атом приготовлен в равной суперпозиции основного $|g\rangle$ и возбуждённого $|e\rangle$ состояний с разностью энергий $\hbar\omega$. Такое состояние получается, например, действием $U_H=2^{-1/2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ на $|g\rangle$. В резонаторе атом взаимодействует с одной модой частоты $\nu$ в когерентном состоянии $|\alpha\rangle$, где $\alpha$ вещественно и $\langle n\rangle=\alpha^2$. Связь с частотой $\lambda$ возбуждает атом при уничтожении фотона и понижает его при рождении фотона. (a) Запишите $H_0$ двух систем и их взаимодействие $V$. (b) При $\lambda\ll\omega,\nu$ и $\lambda\ll\Delta=\omega-\nu$ найдите явный эффективный гамильтониан, добавив к энергиям $|g,n\rangle,|e,n\rangle$ поправки низшего ненулевого порядка. (c) Найдите эволюцию начального состояния. В представлении взаимодействия по $H_0$ покажите, что она имеет вид $(|g,\alpha e^{-i\varphi(t)}\rangle+e^{i\varphi(t)}|e,\alpha e^{i\varphi(t)}\rangle)/\sqrt2$. (d) Через время $T$ атом покидает полость и к нему снова применяется $U_H$. Какова вероятность $P_e(T)$ найти атом возбуждённым? Чему равны пределы при $\langle n\rangle\to\infty$ и $\langle n\rangle\to0$?