Сфера Пуанкаре для случайной поляризации

Поляризация фотона частоты $\omega$, летящего по $+z$, задаётся $\mathbf i=(\alpha_x,\alpha_y)^T$ со случайными комплексными амплитудами и $|\alpha_x|^2+|\alpha_y|^2=1$ с вероятностью 1. Определим $\mathbf r=(2\operatorname{Re}\langle\alpha_x^*\alpha_y\rangle,2\operatorname{Im}\langle\alpha_x^*\alpha_y\rangle,\langle|\alpha_x|^2\rangle-\langle|\alpha_y|^2\rangle)^T$, где скобки означают среднее по ансамблю. (a) Неравенством Шварца докажите $\mathbf r^T\mathbf r\le1$. (b) Для пары детерминированных ортогональных единичных поляризаций $\mathbf i_a,\mathbf i_b$ пластинки, поляризационный разделитель и два идеальных счётчика реализуют измерение с вероятностями $P_k=(1+\mathbf r_k^T\mathbf r)/2$, $k=a,b$. Покажите, что $\mathbf r_a=-\mathbf r_b$ и это распределение нормировано. (c) При $\mathbf r=0$ покажите, что во всех таких базисах $P_a=P_b=1/2$. Сравните с $\mathbf r=(0,1,0)^T$, когда $\mathbf r_a=-\mathbf r_b=(0,0,1)^T$ и когда $\mathbf r_a=-\mathbf r_b=(0,1,0)^T$.